Dạng suy biến

Theo định nghĩa thứ nhất, ta có rất nhiều dạng suy biến của hình cô-nic, trong đó có trường hợp mặt phẳng đi qua đỉnh của hình chóp. Phần giao trong trường hợp đó có thể là một đường thẳng (khi mặt phẳng tiếp xúc với hình nón); một điểm (khi góc tạo bởi mặt phẳng với trục của hình nón lớn hơn góc tạo bởi mặt phẳng tiếp xúc với trục của hình nón) hoặc một cặp đường thẳng cắt nhau (khi góc đó nhỏ hơn).

Các điểm đặc biệt của Ellipse và Hyperbol

Hai bộ tiêu điểm và đường chuẩn

Đối với hình ellipse và hình hyperbol, thì có hai bộ tiêu điểm-đường chuẩn và chúng tạo nên một hình ellipse hoặc một hình hyperbol hoàn chỉnh, đồng thời chúng tạo ra tâm của hình (trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm). Theo đó, hình ellipse và hình hyperbol còn có thể định nghĩa theo một cách khác mà đường parabol không thể định nghĩa theo được.

• Hình Ellipse là quỹ tích của các điểm M mà MF1+MF2=2a (hằng số), trong đó F1 và F2 là tiêu điểm.
• Hình hyperbol là quỹ tích của các điểm M mà |MF1-MF2|=2a (hằng số), trong đó F1 và F2 là tiêu điểm.

Theo hai định nghĩa này thì parabol có thể được coi là dạng suy biến của hình ellipse khi tiêu điểm còn lại bị kéo dài ra xa đến vô tận. Cũng theo định nghĩa này thì hình tròn được coi là dạng suy biến khi hai tiêu điểm của ellipse hợp lại thành một.

Trục thực (trục lớn) và trục ảo (trục bé)

Ở hình ellipse và hình hyperbol còn có thêm hai trục đối xứng mà ở parabol chỉ có một:

• Ở hình ellipse được gọi là trục lớn và trục bé. Trục lớn là trục đi qua hai tiêu điểm và tâm, trục bé là trục vuông góc với trục lớn tại tâm.
• Còn ở hình hyperbol tương ứng được gọi là trục thực và trục ảo. Trục thực là trục đi qua hai tiêu điểm, hai đỉnh của hai nhánh, tâm. Trục ảo là trục vuông góc với trục thực ở tâm của hyperbol.

Qui ước: Độ dài trục lớn (trục thực) bằng giá trị không đổi 2a. Độ dài trục ảo (trục bé) bằng giá trị không đổi 2b.Trong đó, c 2 = a 2 − b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}} đối với ellipse và c 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}} đối với hyperbol (F1F2=2c và được gọi là tiêu cự).

Hình chữ nhật cơ sở

• Ở hình hyperbol, hình chữ nhật cơ sở là hình chữ nhật có bốn đỉnh nằm trên hai đường tiệm cận. Trong bốn cạnh của hình chữ nhật, có hai cạnh là hai đường tiếp tuyến tiếp xúc với hai nhánh của hình hyperbol ở đỉnh của chúng, và tương ứng hai đỉnh này của hyperbol là hai trung điểm của hai cạnh. Hai cạnh đó song song với trục ảo và bằng trục ảo. Hai cạnh còn lại song song với trục thực và có độ dài bằng trục thực.
• Ở hình ellipse, hình chữ nhật cơ sở là hình ngoại tiếp ellipse. Giống như hình hyperbol: Trong bốn cạnh của hình chữ nhật, có hai cạnh là hai đường tiếp tuyến tiếp xúc với hình ellipse tại hai đỉnh (các giao điểm của trục lớn với hình ellipse), và tương ứng hai đỉnh này của ellipse cũng là hai trung điểm của hai cạnh. Hai cạnh đó song song với trục ảo và bằng trục ảo. Hai cạnh còn lại song song với trục thực và có độ dài bằng trục thực.